雪屋小作

发现#

在一次意外的运算中，我突然发现整数的倒数似乎十分有规律，尤其是 $\frac{1}{98}$，它的小数部分居然直接是二的次方表！于是我便开始尝试通过证明，来研究这一规律。

那这只是一个特例吗？我先试着使用计算器计算了与之十分相近的数：

$\frac{1}{97} = 0.010309\ldots$、 $\frac{1}{96}=0.0104\ldots$ 然后作出了一个猜测：$\frac{1}{n}$ 的小数部分是 $(100 - n)$ 的次方表。但是，很容易想到，当 $n \geq 100$ 时原式无意义。 于是我又计算了 $\frac{1}{998} = 0.001002004\ldots$、 $\frac{1}{9998} = 0.000100020004\ldots$ 这样以来就十分明确了，$n$ 的位数决定每个次方数占用位数，$n$ 的相对大小决定次方的底数。

证明#

此证明过程存在且不限于：错误推导、冗余构造、复杂定义、无效证明

等情况，受限于札记撰写时作者初中的知识局限，是作者当时心路历程的完整体现。
为保证原始文章存档的完整性，本页未对文章做出任何改动。

我尝试将 min 函数构造为一个包含两个次方数且这两个数被无限累加的恒等式，先不妨假设有 $a, b \in N^*$，可得

对于正无穷，使原单调求和数列在 $a > b$ 时不收敛即可，故只需要构造函数在 $a \leq b$ 上 $\to\frac{1}{a-b}$

根据希望构造的式子特点，利用求和函数构造有 $f(x) = \sum_1^\infty\frac{b^{i-1}}{a^i}$

得 原式 $= a - (\sum_1^\infty\frac{b^{i-1}}{a^i})^{-1}$

由于 $n$ 的位数 $=$ 每个次方数占用位数，故将 $a = 10^{\lfloor \lg b \rfloor}$ 带入，显然此时 $\min\left(a, b\right) = a$，

既有 $10^{\lfloor \lg b \rfloor} - b = (\sum_1^\infty\frac{b^{i-1}}{10^{i \cdot \lfloor\lg b \rfloor}} )^{-1}$ 即 $\sum_1^\infty \frac{b^{i-1}}{10^{i\cdot \lfloor\lg b \rfloor}} = (10^{\lfloor \lg b \rfloor} - b)^{-1}$

构造完成，得证。

以上在 $a,b \in \left(0, +\infty\right)$ 时均成立。通过这个通式，我们便可以很容易口算一个数倒数的近似值。其中，求和函数在数学表达方面提供了很大方便和帮助。

总结#

以上猜想是我在五年级时开始学习编程后提出的问题，当时便是利用求和先提出了这一猜想的通式然后反过来慢慢证明出的。猜想是创造数学思想方法的重要途径。作为初中学生，在还未学习过的领域，证明一些复杂定理似乎很难，但我们可以先根据寻找规律的特点，写出猜想通式先记下来，毕竟这也是很关键的一步啊。探索试验、类比联想、归纳构造审美以及它们之间的组合什么的，那就等待时间的沉淀慢慢探索吧。